Brüche kürzen (durch ggT teilen)
Kürze einen Bruch auf die einfachste Form, indem Zähler und Nenner durch ihren ggT geteilt werden.
Erklärung
Einen Bruch kürzen heißt, Zähler und Nenner durch denselben Wert zu teilen, ohne den Bruchwert zu ändern. Maximal kürzt man durch den größten gemeinsamen Teiler (ggT). Das Ergebnis nennt man dann 'vollständig gekürzt' oder 'in einfachster Form'. Beispiel 24/36: ggT(24, 36) = 12. Geteilt durch 12: 2/3. Probe: 2/3 = 0,6667 = 24/36. ✓ Wichtig: Beim Kürzen müssen Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl geteilt werden – das gilt für jede Bruchdarstellung. Es darf NICHT z.B. nur der Zähler geteilt werden ('Aus Differenzen kürzen nur die Dummen' – Schulspruch). Ebenso darf bei a+b/c+d nicht einfach a und c gegeneinander gekürzt werden, sondern nur Faktoren in Zähler und Nenner. Warum kürzen? Damit Brüche übersichtlich bleiben und sich besser vergleichen lassen. 18/24 ist schwer einzuschätzen, 3/4 sofort klar. In Aufgabenstellungen sind Lösungen oft erst dann 'korrekt', wenn der Bruch vollständig gekürzt ist. Anwendung: Vereinfachen von Mess- und Mengenangaben (8/16 m = 1/2 m), Wahrscheinlichkeiten (10/100 = 1/10), Verhältnisse (Mischungen, Maßstäbe), Bruchteile bei Zinsen oder Anteilen, Brüche im technischen Zeichnen. Gekürzt vs. erweitert: Der umgekehrte Vorgang ist das Erweitern – Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren. Beim Addieren gleichnamiger Brüche braucht man oft das Erweitern, beim Vereinfachen das Kürzen.
Häufige Fragen
Was bedeutet 'vollständig gekürzt'? +
Zähler und Nenner haben außer 1 keinen gemeinsamen Teiler mehr. Der Bruch lässt sich also nicht weiter vereinfachen.
Wie finde ich den ggT? +
Mit dem Euklidischen Algorithmus oder durch Primfaktorzerlegung. Bei kleinen Zahlen oft im Kopf erkennbar.
Darf ich Summen kürzen? +
Nein, niemals. Aus (a+b)/(a+c) wird nicht b/c. Nur gemeinsame Faktoren des gesamten Zählers und Nenners dürfen gekürzt werden.
Was ist mit negativen Brüchen? +
Vorzeichen darf in Zähler oder Nenner stehen, nicht aber doppelt. −3/4 = 3/(−4) = −(3/4).
Muss ich immer kürzen? +
In Schule und Mathematik ja, da ein vollständig gekürzter Bruch als Standardform gilt. Im Alltag manchmal nicht – z.B. bei festen Maßen oder Größen.