Varianz berechnen (σ² und s²)
Berechne Varianz und Standardabweichung – die mittlere quadratische Abweichung vom Mittelwert. Für Population und Stichprobe.
Erklärung
Die Varianz ist die mittlere quadratische Abweichung vom Mittelwert. Sie misst die Streuung in den Daten – aber im Gegensatz zur Standardabweichung in quadrierten Einheiten (z.B. €²). Aus mathematischen Gründen ist sie oft die 'natürlichere' Größe, weil sie sich leichter aufaddieren lässt (Varianzen unabhängiger Zufallsvariablen sind additiv). Formel: σ² = (1/n) · Σ(xi − μ)². Bei einer Stichprobe wird durch n−1 statt n geteilt (Bessel-Korrektur), damit die Stichprobenvarianz s² unverzerrt die Populationsvarianz schätzt. Beispiel mit 10, 12, 14, 16, 18: - Mittelwert = 14 - Abweichungen: −4, −2, 0, +2, +4 - Quadrate: 16, 4, 0, 4, 16 → Summe 40 - σ² = 40/5 = 8 - s² = 40/4 = 10 Warum quadrieren? Damit positive und negative Abweichungen sich nicht aufheben. Außerdem werden große Abweichungen stärker gewichtet – die Varianz reagiert sensibler auf Ausreißer als z.B. die mittlere absolute Abweichung. Die Wurzel aus der Varianz ist die Standardabweichung – meist anschaulicher, weil sie wieder die Einheit der Daten hat. Trotzdem brauchen viele Verfahren die Varianz direkt: Streuungszerlegung (ANOVA), Hauptkomponentenanalyse, Regression. Wichtige Eigenschaft: Var(X+c) = Var(X) – Verschiebung ändert nichts. Var(c·X) = c² · Var(X) – Skalierung quadratisch. Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y), wenn X und Y unabhängig sind. Anwendung: Risikomaße in der Finanzmathematik, Reproduzierbarkeit in der Messtechnik, Prozesskontrolle, ANOVA-Tests, Genetik, Maschinelles Lernen (Bias-Variance Trade-off).
Häufige Fragen
Was ist der Unterschied zur Standardabweichung? +
Standardabweichung = √Varianz. Varianz hat quadrierte Einheit, Standardabweichung dieselbe wie die Daten – daher anschaulicher.
Warum durch n−1 bei Stichproben? +
Bessel-Korrektur. Sie korrigiert den Bias, der entsteht, weil der Mittelwert aus denselben Daten geschätzt wird.
Kann Varianz negativ sein? +
Nein. Sie ist eine Summe von Quadraten – also immer ≥ 0. Varianz = 0 bedeutet: alle Werte sind identisch.
Wie addiert man Varianzen? +
Bei unabhängigen Zufallsvariablen: Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y). Bei abhängigen Variablen kommt die Kovarianz dazu.
Wann nutze ich Varianz statt Standardabweichung? +
In Beweisen, theoretischen Rechnungen und überall, wo Additivität wichtig ist. Bei Berichten und Visualisierungen meist die Standardabweichung.