Sinus, Kosinus, Tangens im rechtwinkligen Dreieck
Berechne Seiten und Winkel im rechtwinkligen Dreieck mit Sinus, Kosinus und Tangens – inklusive aller Umstellungen.
Erklärung
Im rechtwinkligen Dreieck verbinden Sinus, Kosinus und Tangens Winkel und Seitenlängen. Bezüglich eines spitzen Winkels α gilt: - Gegenkathete: liegt α gegenüber - Ankathete: liegt direkt an α an (nicht die Hypotenuse) - Hypotenuse: längste Seite, gegenüber dem rechten Winkel Definitionen: - sin α = Gegenkathete / Hypotenuse - cos α = Ankathete / Hypotenuse - tan α = Gegenkathete / Ankathete Merkhilfen: GAH-AHA-GAG (Gegen-/Ankathete/Hypotenuse) oder 'SOH CAH TOA' auf Englisch. Beispiele: - Winkel 30°, Hypotenuse 10: Gegenkathete = 10 · sin 30° = 10 · 0,5 = 5 - Ankathete 4, Gegenkathete 3: tan α = 3/4, α = arctan(0,75) ≈ 36,87° Wichtige Werte: sin 0° = 0, sin 30° = 0,5, sin 45° ≈ 0,707, sin 60° ≈ 0,866, sin 90° = 1. Für cos analog umgekehrt: cos 0° = 1, cos 90° = 0. Umkehrfunktionen: arcsin (oder sin⁻¹), arccos, arctan – aus Verhältnis zurück zum Winkel. Auf Taschenrechnern als 'inv' oder '2nd' + sin/cos/tan zugänglich. Anwendungen: - Höhe eines Gebäudes oder Baums (Winkel + Entfernung) - Steigung von Rampen und Straßen (Steigungswinkel) - Navigation (Peilwinkel) - Vermessung (Geodäsie) - Physik (Schiefe Ebene, Kraftzerlegung) - Bauwesen (Dachneigung, Treppen) - Computergrafik (Rotationen) Für nicht-rechtwinklige Dreiecke nutzt man Sinussatz und Kosinussatz. Trigonometrische Funktionen lassen sich auch auf Winkel > 90° verallgemeinern (Einheitskreis) – dann werden sie negativ und bilden periodische Funktionen.
Häufige Fragen
Was sind Gegenkathete und Ankathete? +
Bezogen auf einen spitzen Winkel α: Gegenkathete liegt gegenüber, Ankathete liegt am Winkel an (nicht Hypotenuse).
Wie merke ich mir die Formeln? +
GAH-AHA-GAG oder SOH-CAH-TOA: Sin = Opposite/Hypotenuse, Cos = Adjacent/Hypotenuse, Tan = Opposite/Adjacent.
Warum funktioniert das nur im rechtwinkligen Dreieck? +
Weil die Definitionen von sin, cos, tan sich auf den rechten Winkel beziehen. Für andere Dreiecke nutzt man Sinussatz oder Kosinussatz.
Was bedeutet sin⁻¹ oder arcsin? +
Die Umkehrfunktion. arcsin(0,5) = 30°, weil sin 30° = 0,5. Aus dem Verhältnis zurück zum Winkel.
Wofür Trigonometrie im Alltag? +
Höhenberechnung, Steigung von Rampen, Navigation, Bauwesen, Vermessung, Physik, Computergrafik.