Permutationen berechnen: P(n, k) und n!
Wie viele Anordnungen sind möglich? Berechne P(n) = n! oder P(n, k) = n! / (n−k)! für Auswahl mit Reihenfolge.
Erklärung
Eine Permutation ist eine Anordnung von Objekten in einer bestimmten Reihenfolge. Im Gegensatz zur Kombination zählt hier die Reihenfolge. Zwei Fälle: 1) Alle n Elemente anordnen: P(n) = n!. Beispiel: 5 Bücher in 5! = 120 verschiedenen Reihenfolgen. 2) k aus n auswählen mit Reihenfolge: P(n, k) = n! / (n−k)! = n · (n−1) · … · (n−k+1). Beispiel: Aus 10 Pferden die ersten 3 Plätze: 10 · 9 · 8 = 720 Möglichkeiten. Die Schreibweise variiert: P(n, k), nPk, P_n^k oder ⁿPₖ. Alle bedeuten dasselbe. Für Permutationen mit Wiederholung (z.B. Wort 'MISSISSIPPI') gilt eine andere Formel: n! / (n₁! · n₂! · …), wobei nᵢ die Anzahl gleicher Buchstaben ist. MISSISSIPPI hat 11 Buchstaben mit 4 S, 4 I und 2 P → 11! / (4! · 4! · 2!) = 34.650 verschiedene Anordnungen. Anwendungen: - Sitzordnungen, Rangfolgen, Rennresultate - Zugriffspasswörter ohne Wiederholung - Reihenfolge bei Aufgaben (Tagesplanung) - Rätsel und Spiele (Anagramme) - Datenbanken (Sortierreihenfolgen, Indizes) - Genetik (Reihenfolge der DNA-Bausteine) Unterschied zur Kombination: Bei Kombinationen ist die Reihenfolge egal. C(n, k) = P(n, k) / k!. Wer also 5 aus 10 Bücher zum Lesen wählt, hat C(10, 5) = 252 Auswahlmöglichkeiten, aber 10·9·8·7·6 = 30.240 verschiedene Lesereihenfolgen. Grenzen: Schon 20! ≈ 2,4·10^18 ist riesig. Faktorielle wachsen schneller als jede Exponentialfunktion – daher in der Praxis immer mit Vorsicht und ggf. Stirling-Näherung rechnen.
Häufige Fragen
Was ist der Unterschied zwischen Permutation und Kombination? +
Bei Permutationen zählt die Reihenfolge, bei Kombinationen nicht. Permutationen liefern größere Zahlen.
Was ist 0!? +
Per Definition 1. So bleiben alle Formeln konsistent.
Wie geht Permutation mit Wiederholung? +
n! / (n₁!·n₂!·…). Bei Buchstaben: durch Fakultäten der gleichen Buchstaben teilen. Beispiel: BANANE → 6!/(3!·1!·2!) = 60.
Was ist nPk auf dem Taschenrechner? +
Genau das: Permutationen ohne Wiederholung von k Elementen aus n. Synonym zu P(n, k).
Wofür Permutationen im Alltag? +
Sitzordnungen, Rangfolgen, Lottoreihenfolgen, Sortieralgorithmen, Anagramme, Tagespläne.